Magic theorem showcaseВитрина магической теоремы
The 17 wallpaper groups as their orbifolds, each costing exactly 2 by Conway's magic theorem. Hover over, tab to or tap a surface to unroll it into its flat pattern, with every rotation, mirror and glide, and the generators that build it.17 групп орнаментов в виде их орбифолдов, каждый стоит ровно 2 по магической теореме Конвея. Наведите курсор, перейдите клавишей Tab или нажмите на поверхность, чтобы развернуть её в плоский узор со всеми поворотами, зеркалами и скользящими отражениями и с образующими, которые его строят.
Builds on 17 groups using magic theorem and Describing a wallpaper group by its generators. Part of the Animated Groups Fable Hub.Продолжение страниц 17 groups using magic theorem и Describing a wallpaper group by its generators. Входит в Animated Groups Fable Hub.
The seventeen orbifoldsСемнадцать орбифолдов
Under each surface, its cost, 2 in all:Под каждой поверхностью — её цена, всего 2: handle 2ручка 2 mirror 1зеркало 1 cross-cap 1плёнка Мёбиуса 1 cone point (n−1)/nконическая точка (n−1)/n corner (n−1)/2nугол (n−1)/2n
-
op1torusтор
a handle: the whole surface is one torusручка: вся поверхность — один тор
2 handle = 22 ручка = 2
Generators (2)Образующие (2)
- atranslation along a cell edgeперенос вдоль стороны ячейки
- btranslation along the other edgeперенос вдоль другой стороны
Glue the shaded region's edges in the pairs the translations match, none of them flipped: it closes up into the torus on the card.Склейте края закрашенной области парами, как их сопоставляют переносы, ни одну не переворачивая: она замкнётся в тор с карточки.
-
2222p2pillowcaseнаволочка
a rectangle doubled: four 180° cone pointsудвоенный прямоугольник: четыре конические точки по 180°
1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 = 21/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 = 2
Generators (3)Образующие (3)
- a180° rotation at a cell cornerповорот на 180° вокруг вершины ячейки
- b180° rotation halfway along one edge from itповорот на 180° вокруг середины стороны из неё
- c180° rotation halfway along the other edgeповорот на 180° вокруг середины другой стороны
The shaded region is the pillow's two faces: fold one onto the other along the edge they share, sew each edge to the edge it now lies on (the small arrows pair them), and you have the pillow on the card, its corners the cone points.Закрашенная область — две грани подушки: сложите их по общему краю, сшейте каждый край с тем, на который он лёг (маленькие стрелки отмечают пары), — получится подушка с карточки, а её углы станут коническими точками.
-
**pmannulusкольцо
a cylinder whose two rims are mirrorsцилиндр, оба края которого — зеркала
1 mirror + 1 mirror = 21 зеркало + 1 зеркало = 2
Generators (3)Образующие (3)
- amirrorзеркало
- bmirror next to itзеркало, соседнее с ним
- ctranslation along them, the shortestперенос вдоль них, кратчайший
Mirrors bound the shaded strip on two sides; glue its two ends the same way round and it closes up into the annulus on the card, its rims the mirrors.Закрашенную полосу с двух сторон ограничивают зеркала; склейте её концы без переворота — получится кольцо с карточки, края которого — зеркала.
-
××pgKlein bottleбутылка Клейна
two cross-caps; in space it passes through itselfдве плёнки Мёбиуса; в пространстве проходит сквозь себя
1 cross-cap + 1 cross-cap = 21 плёнка Мёбиуса + 1 плёнка Мёбиуса = 2
Generators (2)Образующие (2)
- aglide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси
- bglide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси
Glue the shaded region's edges in the pairs the group matches: a glide glues one pair with a flip and a translation glues the other the same way round, so it closes up into the Klein bottle on the card.Склейте края закрашенной области парами, как их сопоставляет группа: скользящее отражение склеивает одну пару с переворотом, а перенос — другую без переворота, и область замкнётся в бутылку Клейна с карточки.
-
*×cmMöbius bandлента Мёбиуса
its one edge is a mirrorеё единственный край — зеркало
1 mirror + 1 cross-cap = 21 зеркало + 1 плёнка Мёбиуса = 2
Generators (2)Образующие (2)
- amirrorзеркало
- bglide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси
Glue the shaded region's free edges in the pairs the group matches: the glide glues with a flip, so it closes up into the Möbius band on the card, whose one edge is the mirror.Склейте свободные края закрашенной области парами, как их сопоставляет группа: скользящее отражение склеивает с переворотом, и получится лента Мёбиуса с карточки, единственный край которой — зеркало.
-
*2222pmmrectangleпрямоугольник
mirror edges, four 90° cornersзеркальные края, четыре угла по 90°
1 mirror + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 = 2
Generators (4)Образующие (4)
- amirror on the rectangle's left sideзеркало на левой стороне прямоугольника
- bmirror on its right sideзеркало на правой стороне
- cmirror on its top sideзеркало на верхней стороне
- dmirror on its bottom sideзеркало на нижней стороне
Every edge of the shaded region is a mirror, so nothing is glued: the region itself is the flat surface on the card, its corners the corner badges.Каждый край закрашенной области — зеркало, поэтому склеивать нечего: сама область и есть плоская поверхность с карточки, а её углы — угловые значки.
-
22*pmghalf a pillowcaseполовина наволочки
a pouch whose mouth is a mirror; two 180° cone pointsмешочек с зеркальным устьем; две конические точки по 180°
1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1 mirror = 21/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1 зеркало = 2
Generators (3)Образующие (3)
- amirrorзеркало
- b180° rotation at a 2-fold centre nearest itповорот на 180° вокруг ближайшего к нему центра 2-го порядка
- c180° rotation at the next centre parallel to itповорот на 180° вокруг следующего центра параллельно ему
The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки.
-
22×pggcross-capскрещённый колпак
a projective plane with two 180° cone points; it passes through itselfпроективная плоскость с двумя коническими точками по 180°; проходит сквозь себя
1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1 cross-cap = 21/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1 плёнка Мёбиуса = 2
Generators (2)Образующие (2)
- aglide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси
- bglide, the shortest on a perpendicular lineскользящее отражение, кратчайшее на перпендикулярной оси
Glue the shaded region's edges in the pairs the group matches: the two half-turn centres become the cone points and the glides glue both pairs with a flip, closing it up into the cross-cap on the card.Склейте края закрашенной области парами, как их сопоставляет группа: два центра полуоборота станут коническими точками, а скользящие отражения склеят обе пары краёв с переворотом, замкнув её в скрещённый колпак с карточки.
-
2*22cmmhalf a square pillowполовина квадратной подушки
cut corner to corner: a mirror mouth with two 90° corners, one 180° cone pointразрезана по диагонали: зеркальное устье с двумя углами по 90°, коническая точка 180°
1/2 cone point 2 + 1 mirror + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 = 21/2 коническая точка 2 + 1 зеркало + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 = 2
Generators (3)Образующие (3)
- amirrorзеркало
- bmirror crossing itзеркало, пересекающее его
- c180° rotation at a nearest 2-fold centre off the mirrorsповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка вне зеркал
The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки.
-
442p4triangular pillowтреугольная подушка
a 45-45-90 triangle doubled: cone points 90°, 90°, 180°удвоенный треугольник 45-45-90: конические точки 90°, 90°, 180°
3/4 cone point 4 + 3/4 cone point 4 + 1/2 cone point 2 = 23/4 коническая точка 4 + 3/4 коническая точка 4 + 1/2 коническая точка 2 = 2
Generators (2)Образующие (2)
- a90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка
- b180° rotation at a nearest 2-fold centreповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка
The shaded region is the pillow's two faces: fold one onto the other along the edge they share, sew each edge to the edge it now lies on (the small arrows pair them), and you have the pillow on the card, its corners the cone points.Закрашенная область — две грани подушки: сложите их по общему краю, сшейте каждый край с тем, на который он лёг (маленькие стрелки отмечают пары), — получится подушка с карточки, а её углы станут коническими точками.
-
*442p4m45-45-90 triangleтреугольник 45-45-90
mirror edges, corners 45°, 45°, 90°зеркальные края, углы 45°, 45°, 90°
1 mirror + 3/8 corner 4 + 3/8 corner 4 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 3/8 угол 4 + 3/8 угол 4 + 1/4 угол 2 = 2
Generators (3)Образующие (3)
- amirror on one leg of the triangleзеркало на одном катете треугольника
- bmirror on the other legзеркало на другом катете
- cmirror on the hypotenuseзеркало на гипотенузе
Every edge of the shaded region is a mirror, so nothing is glued: the region itself is the flat surface on the card, its corners the corner badges.Каждый край закрашенной области — зеркало, поэтому склеивать нечего: сама область и есть плоская поверхность с карточки, а её углы — угловые значки.
-
4*2p4ghalf the 442 pillowполовина подушки 442
a mirror mouth with one 90° corner; one 90° cone pointзеркальное устье с одним углом 90°; коническая точка 90°
3/4 cone point 4 + 1 mirror + 1/4 corner 2 = 23/4 коническая точка 4 + 1 зеркало + 1/4 угол 2 = 2
Generators (2)Образующие (2)
- a90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка
- bmirror nearest itзеркало, ближайшее к нему
The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки.
-
333p3triangular pillowтреугольная подушка
an equilateral triangle doubled: three 120° cone pointsудвоенный равносторонний треугольник: три конические точки по 120°
2/3 cone point 3 + 2/3 cone point 3 + 2/3 cone point 3 = 22/3 коническая точка 3 + 2/3 коническая точка 3 + 2/3 коническая точка 3 = 2
Generators (2)Образующие (2)
- a120° rotation at a 3-fold centreповорот на 120° вокруг центра 3-го порядка
- b120° rotation at a neighbouring 3-fold centreповорот на 120° вокруг соседнего центра 3-го порядка
The shaded region is the pillow's two faces: fold one onto the other along the edge they share, sew each edge to the edge it now lies on (the small arrows pair them), and you have the pillow on the card, its corners the cone points.Закрашенная область — две грани подушки: сложите их по общему краю, сшейте каждый край с тем, на который он лёг (маленькие стрелки отмечают пары), — получится подушка с карточки, а её углы станут коническими точками.
-
*333p3m1equilateral triangleравносторонний треугольник
mirror edges, three 60° cornersзеркальные края, три угла по 60°
1 mirror + 1/3 corner 3 + 1/3 corner 3 + 1/3 corner 3 = 21 зеркало + 1/3 угол 3 + 1/3 угол 3 + 1/3 угол 3 = 2
Generators (3)Образующие (3)
- amirror on one side of the triangleзеркало на одной стороне треугольника
- bmirror on the second sideзеркало на второй стороне
- cmirror on the third sideзеркало на третьей стороне
Every edge of the shaded region is a mirror, so nothing is glued: the region itself is the flat surface on the card, its corners the corner badges.Каждый край закрашенной области — зеркало, поэтому склеивать нечего: сама область и есть плоская поверхность с карточки, а её углы — угловые значки.
-
3*3p31mhalf the 333 pillowполовина подушки 333
a mirror mouth with one 60° corner; one 120° cone pointзеркальное устье с одним углом 60°; коническая точка 120°
2/3 cone point 3 + 1 mirror + 1/3 corner 3 = 22/3 коническая точка 3 + 1 зеркало + 1/3 угол 3 = 2
Generators (2)Образующие (2)
- a120° rotation at a centre off the mirrorsповорот на 120° вокруг центра вне зеркал
- bmirror nearest itзеркало, ближайшее к нему
The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки.
-
632p6triangular pillowтреугольная подушка
a 30-60-90 triangle doubled: cone points 60°, 120°, 180°удвоенный треугольник 30-60-90: конические точки 60°, 120°, 180°
5/6 cone point 6 + 2/3 cone point 3 + 1/2 cone point 2 = 25/6 коническая точка 6 + 2/3 коническая точка 3 + 1/2 коническая точка 2 = 2
Generators (2)Образующие (2)
- a60° rotation at a 6-fold centreповорот на 60° вокруг центра 6-го порядка
- b120° rotation at a nearest 3-fold centreповорот на 120° вокруг ближайшего центра 3-го порядка
The shaded region is the pillow's two faces: fold one onto the other along the edge they share, sew each edge to the edge it now lies on (the small arrows pair them), and you have the pillow on the card, its corners the cone points.Закрашенная область — две грани подушки: сложите их по общему краю, сшейте каждый край с тем, на который он лёг (маленькие стрелки отмечают пары), — получится подушка с карточки, а её углы станут коническими точками.
-
*632p6m30-60-90 triangleтреугольник 30-60-90
mirror edges, corners 30°, 60°, 90°зеркальные края, углы 30°, 60°, 90°
1 mirror + 5/12 corner 6 + 1/3 corner 3 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 5/12 угол 6 + 1/3 угол 3 + 1/4 угол 2 = 2
Generators (2)Образующие (2)
- a60° rotation at a 6-fold centreповорот на 60° вокруг центра 6-го порядка
- bmirror halfway to the next 6-fold centreзеркало посередине до следующего центра 6-го порядка
Every edge of the shaded region is a mirror, so nothing is glued: the region itself is the flat surface on the card, its corners the corner badges.Каждый край закрашенной области — зеркало, поэтому склеивать нечего: сама область и есть плоская поверхность с карточки, а её углы — угловые значки.
How to read the unrolled patternКак читать развёрнутый узор
- 2-fold centre: a half-turn (180°) about it is a symmetryцентр 2-го порядка: поворот вокруг него на 180° — симметрия
- 3-fold centre: a third of a turn (120°)центр 3-го порядка: треть оборота (120°)
- 4-fold centre: a quarter turn (90°)центр 4-го порядка: четверть оборота (90°)
- 6-fold centre: a sixth of a turn (60°)центр 6-го порядка: шестая часть оборота (60°)
- solid and hollow: different kinds of centre of one order; no symmetry takes one kind to anotherзакрашенный и пустой: разные виды центров одного порядка; никакая симметрия не переводит один вид в другой
- a dot inside: a third or a fourth kind of centre of one order (2222 and *2222 have four kinds of 2-fold centre, 2*22 three, and *333 three kinds of 3-fold centre)точка внутри: третий или четвёртый вид центров одного порядка (у 2222 и *2222 четыре вида центров 2-го порядка, у 2*22 три, у *333 три вида центров 3-го порядка)
- circle: in 333, the third kind of 3-fold centre, at the lattice pointsкружок: в 333 третий вид центров 3-го порядка, в узлах решётки
- mirror lineзеркало
- glide line: reflect across it, then slide along it; not a mirrorось скользящего отражения: отразить относительно неё и сдвинуть вдоль; не зеркало
- motif: a copy for each symmetry, where it is wholly in view; the dark one lies in the shaded regionмотив: по копии на каждую симметрию, где она целиком в кадре; тёмная копия лежит в закрашенной области
- shaded region: a fundamental domain, whose copies tile the plane once; glued up, it is the surface on the cardзакрашенная область: фундаментальная область, копии которой замощают плоскость ровно один раз; склеенная, она и есть поверхность с карточки
- two tones: the two faces of a pillow or half pillow, front and backдва тона: две грани подушки или половины подушки, передняя и задняя
- small arrows on the shaded region's edges: edges with the same number of arrows are glued together, arrow onto arrowмаленькие стрелки на краях закрашенной области: края с одинаковым числом стрелок склеиваются, стрелка к стрелке
- ring: a point that becomes one of the 3D surface's badges, green for a cone point, peach for a corner; rings that the gluing brings together make one badgeцветная окружность: точка, которая становится значком на 3D-поверхности, зелёная — коническая точка, персиковая — угол; окружности, которые склейка сводит вместе, дают один значок
- accent: the generators, lettered a, b, c, d as in the list: for a rotation, an arc of its angle about its centre, on a pale disc; for a mirror, the mirror with a small double arrow across it; for a glide, the glide line in dashes with an arrow along it as long as its slide; for a translation, an arrowцветом выделены образующие a, b, c, d, как в списке: поворот — дуга на его угол вокруг центра, на бледном круге; зеркало — линия с маленькой двойной стрелкой поперёк; скользящее отражение — пунктир со стрелкой вдоль него длиной в сдвиг; перенос — стрелка
SourcesИсточники
- The surfaces, the prices and the generator lists: 17 groups using magic theorem.Поверхности, цены и списки образующих: 17 groups using magic theorem.
- The figure style and the generating sets: Describing a wallpaper group by its generators.Стиль рисунков и наборы образующих: Describing a wallpaper group by its generators.
- Each group's page in the clockwork/colouring correspondence on the Fable site: correspondence; the IUC name in each popover opens its own.Страница каждой группы в таблице соответствий clockwork/colouring на сайте Fable: correspondence; название IUC в каждом окне открывает её страницу.
- The symbols for rotation centres, mirrors and glide lines: International Tables for Crystallography, Vol. A, the plane groups (ch. 2.1). The Tables draw no symbol for a translation; the arrow is this page's.Символы центров вращения, зеркал и осей скользящего отражения: International Tables for Crystallography, т. A, плоские группы (гл. 2.1). Символа для переноса там нет; стрелка — наша.
- The magic theorem and the orbifold symbols: J. H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things (2008).Магическая теорема и символы орбифолдов: J. H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things (2008).